GeoGebra在小学“图形与几何”教学中的应用研究

在“图形与几何”教学与GGB技术融合的应用研究过程中，我们发现GGB作为一款免费的专业数学软件，有着入门简单、功能全面的优点，软件内置了丰富的数学工具，在GGB论坛上有着丰富的共享资源，特别是还有跨平台的优势，可以在电脑、平板、手机、网页等多平台完美运行。通过教师日常教研及“图形与几何”教学中的广泛应用，我们获得了一定的经验和收获。

(一)    巧用GGB软件的动态特点及数学工具，突破“图形与几何”课堂教学中的难点。

课题开展初在针对数学教师的问卷调查中，我们发现数学教师在课堂教学中使用的信息技术工具还是以PPT、投影为主。对于数学学科来说，PPT侧重于文字、图片、声音、图像的展示，无法准确演示“图像与几何”教学中需要的旋转、平移、对称、缩放等数学运动，制作的相关课件不仅耗时费力，而且动态演示效果是僵硬的、机械的，不能实现数学图形的动态变化和运动，更不能体现数学图形间的内在逻辑关系。

GGB软件利用内置的点工具、直线工具、多边形工具、圆工具可以模拟绘制出几何意义上的所有尺规作图，再结合度量工具、变换工具及变量就可以制作成可动态变化的图形。这样绘制出的几何图形与PPT课件上的图形相比最大的特点是在动态变化中图形的几何元素之间的相互关系和基本性质保持不变。以我在执教人教版小学数学六年级上册《圆的面积》一课为例，课本上是这样来探索圆面积的计算公式：“怎样计算一个圆的面积呢？我们能不能把圆转化成某个学过的图形来计算呢？让我们来做一个实验：在硬纸上画一个圆，把圆分成若干（偶数）等份，剪开后，用这些近似等腰三角形的小纸片拼一拼，你能发现什么？如果分的份数越多，每一份就会越小，拼成的图形就会越接近于长方形。”在实际教学过程中教师很少让学生自己动手操作，因为课本附页上的两个学具分别是平均分为16份和32份，较难制作，不易等分拼接，较难在课堂上实现。通常情况下是把学生分为小组，每小组分发一个塑料制学具，由于学具的缺陷（有限等份），一般都是平均分为16等份，学生更倾向得出转化后的图形“接近平行四边形”的结论，而不是“接近于长方形”，学生对将圆无限分割后接近长方形缺乏空间想象。教师使用PPT制作圆分割拼接动画时，要将4等分、8等分、16等分、32等分等情况一一分别制作，需要多张幻灯片才能实现效果，不仅麻烦而且圆的分割拼接展示不流畅不准确。我们利用GGB软件重制了这一过程，GGB的变量功能将图形的变化方便地表现出来，设置变量n的范围，拖动滑动条轻松的将圆从4等分、8等分以至于无限等分在一个界面完成，将学生理解困难且不好用数学语言准确描述的曲线平面图形向直线平面图形转化的过程形象、直观地展示出来，引导学生轻松理解圆面积计算公式的推导过程，减轻了教师的备课负担，也改善了学生的课堂体验，提升了课堂教学的效果。

在“图形与几何”的教学中经常会用到各种数据的度量和计算，特别是图形的变化而产生的各种数据改变，PPT课件对此是毫无办法的。例如在讲授人教版五年级数学上册《平行四边形的面积》一课时，在最初的猜想环节，学生会从长方形的面积公式联想到一个错误的结论，认为平行四边形的面积等于底边和斜边相乘，特别是在等底等周长时平行四边形和长方形谁的面积更大，更容易做出误判。我利用GGB绘制了一个等底等周长的长方形和平行四边形，平行四边形的高度可以拖动滑动条进行调整且保持底边和斜边长度不变，用GGB的度量工具实时显示平行四边形的面积，借助GGB的动态演示和数据度量，学生很清楚地观察到平行四边形的面积与平行四边形的斜边长度无关，让学生观察出平行四边形的面积和平行四边形的高相关。

数学来源于生活同时又是生活的一种抽象，“图形与几何”的学习主要研究图形的大小、形状、几何图形的内在关系等几何属性，而小学生的思维特点又导致学生在课堂操作活动时常常会受到一些非数学因素的影响。例如在教学人教版四年级下册《三角形的分类》一课时，教师指导学生提前准备色卡纸制作大量的三角形作为学具，学生开展小组活动进行三角形的分类时，由于每人准备的色卡纸有各种颜色，各色三角形大小不一，且没有标注三角形的边长和角度等信息，学生在各种非数学因素的干扰下，产生了“不按三角形的几何属性分类”的错误，在展示时出现了将三角形按颜色这一非数学属性分类的情况，小组活动未能达到预期效果。GGB则能很好地解决这个问题，利用GGB绘制的三角形将颜色这些非几何因素淡化，度量工具能自动把三角形的边长及角度标注准确清晰，可以有效的引导学生走出误区，准确将三角形按角的大小或三边的边长关系来进行分类。

GGB软件在我校进行一段时间的推广使用后，我们针对GGB软件在课堂上的应用情况再次进行了调查，得到了非常好的反馈。

表格 4 GeoGebra在小学“图形与几何”教学中的应用调查

GGB作为一种动态数学软件，运用在小学数学“空间与图形”的课堂教学上有良好的教学效果，GGB在小学数学课堂教学中的应用，符合当前信息技术和数学教学深度融合的趋势，也为我们的数学教学方法带来进一步的改变和深化。数学课堂中使用GGB能有效的突破“图形与几何”教学中的重难点，使得抽象的几何变化更加直观，从而激发学生的学习兴趣，为教师的教和学生的学提供有力的工具。

(二)    借助GGB的3D视图、轨迹追踪等高级功能，构建数学直观，培养学生的空间想象能力。

GGB的动态数学及数形结合等特色功能在课堂上有利于学生进行直观感知、大胆猜想、严谨验证等，有效促进学生的认知，GGB所呈现的基于数学内在逻辑的动态变化可以提高学生的思维能力与水平。GGB软件不仅可以动态展示图形的变化过程，还可以将图形运动时产生的轨迹和数据记录下来，清晰直观地展示数学知识发生和发展的过程。GGB还能对绘制的图形实时度量，并显示对象的名称、数值（长度、面积和角度）等信息，还可以对几何对象进行平移、旋转、缩放和对称等几何变换，对学生的数学抽象、空间想象核心素养的提升有极大的作用。

在人教版六年级数学上册65页练习十四有这样一道习题：“一个挂钟的分针长20cm，经过30分钟后，分针的尖端所走过的路程是多少厘米？经过45分钟呢？”学生在分析问题时，缺乏生活经验，无法想象出分针走过的路线。特别是学习过圆的面积之后，此题会进行拓展，在求路程的基础上增加“分针所扫过的面积是多少？”一问，学生很容易把“走过的”和“扫过的”混淆在一起，不明白究竟要解决什么问题，我们利用GGB软件的制作的课件上开启跟踪功能后能够把分针运动的路线和扫过的面积直观地展示出来，可以很好地解决学生这一困惑。人教版六年级数学上册70页“生活中的数学”提出这样一个问题：“我们周围有很多东西的平面轮廓都是圆形的，如车轮、井盖……这是为什么呢？”我们在GGB软件上分别呈现了三角形、正方形、多边形、圆的滚动，这些图形滚动时，图形中心的运动轨迹被清晰地记录下来，一目了然，学生很直观地理解“圆上任意一点到圆心的距离都相等”这一特征。

小学“图形与几何”开始立体图形知识的教学之后，教师在组织课堂教学时，常用的黑板和PPT平面化、静态化的局限性在展示立体图形时更是显得捉襟见肘，课堂上往往要引入大量的实物学具带来不便。GGB软件独特的3D绘图功能这个时候就可以大显身手了，在GGB的3D绘图区可以轻松的绘制出长方体、长方体、圆柱、圆锥等常见几何体，而且每个几何体都可以用鼠标任意拖曳从不同视角进行观察。

在人教版五年级数学下册第一单元《观察物体(三)》教学活动中，先让学生利用小正方体学具摆出指定的几何体，通过观察归纳知道要确定一个几何体需要从三个不同方向进行观察。在后续的巩固练习时利用GGB的3D绘图区出示各种小正方体搭建的几何体，让学生先进行观察猜测尝试绘制出几何体的三视图，然后再拖曳几何体在屏幕上动态地展示出几何体不同视图，达到了良好的练习效果。

我们针对人教版六年级数学下册第三单元《圆柱与圆锥》进行整体教学设计时，结合GGB软件的特点制作了一系列动态课件。例如利用GGB的3D功能展示圆柱和圆锥的生成，效果直观、形象，学生的学习体验非常好，这在PPT上是无法完成的。在学习圆柱的体积时，先利用学具展示了圆柱体转化为近似长方体的过程，静态推导出圆柱体积公式，又向学生介绍了“帕普斯定理：一个平面图形沿轴运动所生成立体图形的体积，正好等于这个平面图形的面积乘以平面图形中心的运动距离。”，GGB软件作为辅助展示了长方形绕周旋转一周和圆垂直向上运动生成圆柱的过程，引导学生从动态的角度思考求体积的方法，拓宽了学生的思维和视野。

表格 5 GeoGebra在小学“图形与几何”教学中的应用调查问卷

从后期的问卷调查情况来看，教师们普遍认为GGB对提升学生的空间想象能力和数学抽象能力有显著效果。根据学习内容将课本中的文字陈述和静止的图形化静为动，在“动”中感悟知识，升华认识。使抽象的道理变得更加具体，深奥的算理直观通俗，枯燥的知识有趣生动。传统的“图形与几何”课堂教学中，教师使用圆规、三角板在黑板上绘制几何体，是静止固定的图形。GGB绘制的几何图形是动态的，GGB能让教师将黑板上绘制的图形和PPT课件中插入的静态几何图形动起来，有利于学生发展空间想象能力，理解几何图形内在的数学属性，在这个过程中培养学生辩证思维的习惯，让学生学会用动态思维来观察静态图形，用发展的眼光来学习数学，这些习惯都是他们受用终身的。

(三)    使用GGB开展数学实验和数学欣赏，感受数学之美，激发学生学习数学的兴趣。

数学课堂教学中为了得到某个结论、或验证某个定理的正确性，常常要组织学生进行数学实验。在实际活动时，教师和学生要准备大量的学具，在一些需要精确数据和计算结果时，由于测量学生操作不规范，工具的误差，得到的实验结果南辕北辙，最终是费时费力却事倍功半。GGB具有强大的动态变化功能和测量计算功能，将这一特性与“图形与几何”教学中的实验活动相结合，可以产生很好的学习效果。

人教版小学数学六年级上册《圆的周长》一课在探索圆周率时，实验活动要求学生以小组为单位对事先准备的圆形物体进行测量，记录下圆的直径和周长，同时计算出圆的周长与直径的比值。由于圆的周长不易测量，小学生动手能力不强，学生使用的直尺精确度不高，实际操作时不同小组得出的结果差别较大，计算出的结果介于3——3.5之间，学生很难得出圆周率是一个固定的数的结论。在以往的教学中教师总是直接告诉学生圆周率约等于3.14，利用GGB的动态功能可以很好地解决这一问题，学生拖动滑动条不断增加正多边形的边数，不断逼近圆，软件自动记录下圆的周长与直径的比值，GGB的精确度可以保留15位有效数字。在开展数学实验的过程中，学生通过GGB课件的直观、快速、准确地得出了圆周率的值，极大激发了学生学习数学的兴趣和动力，从课下与学生谈话交流发现使用GGB结合教学确实能提高学生学习兴趣。

经过问卷调查和访谈，我们发现学生在学习“图形与几何”时常见的困惑一是觉得枯燥抽象二是觉得没有实际用途。为了让学生认识到数学在生活生产中的广泛应用，感受数学之美，激发学生学习数学的兴趣，拓宽学生的视野，我们利用GGB开展了一系列数学欣赏活动。我们指导实验小组学生在假期中利用图形的对称、平移、旋转等运动绘制了一系列几何图形设计，在班级进行展示评阅。课题组教师则根据网络资源收集整理或制作了一批用于数学欣赏的GGB科普课件，指导学生利用GGB软件的平移、旋转、对称等功能设计一些简单几何图案，教师利用GGB制作了勾股树、雪花曲线、谢尔宾斯基三角形、图形的密铺、皮亚诺曲线、空间错觉等数学动画让学生欣赏数学之美。

GGB课件的动态教学能够培养学生的抽象思维能力，用它来引导学生的学习，让它帮助学生思考，利用GGB辅助教学，是数学教育方式改革的一种探索，用好GGB软件就好比建造了一个“数学实验室”，可以帮助教师更有效的教学数学和学生更好地学习数学。教师合理使用GGB，能很好地辅助小学数学“图形与几何”的教学，使课堂上“动手实践、自主探索、合作交流”的学习方式得到真正落实，在“空间与图形”这个学习领域中发挥积极有效的作用。

(四)    GGB软件在教学中的应用，有效提高教师的教学效率，促进教师业务能力的提升，实现教学相长。

根据GGB的数学软件的专业性，“图形与几何”方面的教学知识都可以方便快速地制作出来，有效促进教与学的有机结合，而且课件的制作过程，是对数学知识的一次系统性的学习，也是数学教师的一个创造过程。

为了加深对GGB软件的理解和运用，我们课题组教师在慕课网上报名学习了《动态几何画板GeoGebra教学应用》，每周集中教研一次，根据教学内容分配设计课件，对于存在的困难在网上向有经验的教师请教。把原来PPT中的动画课件都制作出对应的GGB课件，将课本上的习题插图转制成GGB文件，实现资源的共享和长期保存。在学习过程中我们发现利用GGB制作课件非常方便快捷，我校一位教师参加优质课比赛执教人教版五年级数学下册《图形的运动（三）》时遇到了难题，为了实现课本第83页的例1钟表指针从“12”到“1”、从“1”到“3”、从“3”到“6”、从“6”到“12”的演示，一开始在使用PPT的情况下，通过查询教程发现PPT中“陀螺旋”的动画效果可以实现指针旋转，旋转中心需要一点点地调整，而且要提前预设好固定的位置和旋转角度，一张幻灯片展示一种情况，花费了几天工夫制作的课件显得臃肿，动画不生动不准确，无法灵活适用于课堂教学。在了解教师的课堂需求之后，我们经过研讨，利用GGB重现了指针旋转的过程。先在GGB插入一张表盘图片，将图片中心固定到圆心位置，插入滑动条α和β，设置区间为（0°,360°），在指令栏输入“向量((0, 0), (8cos(90° - α), 8sin(90° - α)))”生成指针，利用旋转工具旋转指针，变量设为β，通过变量α和β来控制指针的起始位置和旋转角度。整个制作过程大约10分钟，简单的一条指令和两个滑动条就实现了PPT无法完成的动态教学效果。在掌握了GGB的基本工具和原理后，课堂上常见的动态课件制作起来可谓是得心应手，起到事半功倍的效果。

在课堂授课时，GGB的便捷性可以让教师抛弃传统笨重的木制教具，让教师可以在白板上随时快速制作出各种几何图形，还可以精准重现作图过程。原来的课件多用PPT制作，作图不精确，几何对象之间不能建构逻辑关系，无法绘制角度、长度等为变量的图形，绘制的图形不能方便修改，对图形进行数据标注不够方便，利用WORD制作试卷时因为有许多数学符号及数学图形无法编辑。以人教版六年级数学上册练习十七第9题“一个边长是1cm的正方形，与这个正方形每一条边相连的都是圆心角为90°的扇形”为例，在没有电脑时教师都是通过尺规作图完成，现用现画，不能实现跨平台和资源共享。使用PPT时先绘制一个正方形，再绘制四个不完整圆，图形的大小只能利用鼠标进行拖放，不能通过输入数据或变量精准控制，精确度全靠感觉，图形之间不存在几何关系，一个图形大小变化了，其它图形只能再次手动调整，标注数据需要一堆文本框和线条的组合。利用GGB绘制这个图形时，则只需要用到多边形工具和扇形工具，正方形的边长可以通过滑动条进行控制，正方形和扇形之间建立了几何关系，调整一个图形的大小，其它图形可以自动跟随改变，长度和角度等各种数据会自动显示并随图形变化而调整。

表格 6 GeoGebra在小学“图形与几何”教学中的应用调查问卷

调研发现GGB在多种课型和教学场景可广泛应用，掌握了GGB的基本操作后，数学教师们再也不怕制作课件的动画展示和编辑试卷时遇到的制图问题了，由于GeoGebra软件简单易学，作图便捷，制作起来也仅仅几分钟，提高了数学教师的工作效率。

在此次课题研究中，我们发现在小学数学“图形与几何”教学中根据学习内容选择合适的时机引入GGB，可以有效的提高课堂的学习效率，增进学生学习“图形与几何”的兴趣。我们推广了数学软件GGB在数学学科中的应用，提升了教师在数学课堂应用信息技术辅助教学的能力，增强了我校教师制作数学课件的技能，并且初步形成GGB在“图形与几何”教学中的运用模式，探索在数学教学和教研中主动学习和使用数学软件的经验。最终我们制作整理了一批四五六年级数学“图形与几何”教学的课本图例和相关课件，撰写了关于GGB在小学数学课堂应用情况的一些小论文，在校内进行了运用GGB开展课堂教学的展示，总结了相关的课例，将学习制作GGB的心得和经验进行汇总，在郑州教育博客上发表了二十余篇博文。

使用GGB辅助教学，几何图形的展示变化更生动直观，学生的参与度更高，研究的数学问题更深刻，GGB制作的图形能动会变、形象直观，为数学课堂增添了新鲜感，吸引学生积极主动地参与到学习中来，成为数学学习的主人。GGB简单易学，学生也能利用画板的绘图工具及旋转、平移、对称功能制作一些美丽的数学图案，在参与绘制的过程中，学生的动手能力得到了提升，数学知识得到了巩固，逻辑思维能力得到了锻炼。